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2009年9月 3日 (木)

映画の中の確率クイズ

Lasvegasスタジオに3つの扉がある。高級新車が隠されている扉を当てれば、車をもらえる。番組の司会者が挑戦者にいう。「2つの扉はハズレ。ひとつは当たり。どれを選ぶ?」。挑戦者は3つの扉のうち1つを指さす。だが、意地悪な司会者は、挑戦者が選ばなかった2つの扉のうち1つを開けた。中は空だった。司会者が挑戦者に尋ねる。「あなたは扉を変更できる。最初に選んだ扉のままにする?それとも別の扉にする?」。さて、挑戦者は扉を変更すべきかどうか――。このクイズは、映画『ラスベガスをぶっ飛ばせ』の冒頭で紹介されたものであるが、わたしはポカーン(涙)。

ロバート・ルケティック監督 『ラスベガスをぶっつぶせ』 (原題:21, 2008, 米)

ただし、この問題、よく考えればわたしの脳みそでもぼんやり分かった。挑戦者が最初に扉を選んだ時点では、高級新車が当たる確率はどの扉も1/3。しかし、司会者がハズレの扉を1つ開けてしまう。挑戦者が最初に選んだ扉が当たる確率は1/3のままだが、司会者が残りの2/3のうち、1つを開けたため、確率を考える条件が大きく変化してしまったのだ。

3つの扉のうち、挑戦者が最初に指さした扉をAとする。司会者が開けなかった扉をB、開けたハズレの扉をCとする。残る扉はAとBの2つ。どちらの扉も、確率が1/3から1/2になったと思ったら大間違い。司会者は正解を知っていて、わざとハズレのC扉を開いたと考えられる。つまり、ここで新たな条件が付け加わったわけだ。

(1) 挑戦者が最初に指さしたAが当たりだったら、司会者はBまたはCのどちらか1つを開く。挑戦者の立場からすると、最初に選んだAが当たる確率は1/3だが、司会者がC扉を開けたので、Bが当たりの確率は上昇するような気がするが、よくわからない…。

(2) もし挑戦者が最初に指したAがハズレだったら、司会者は残された2つの扉(1つは当たり、もう1つはハズレ)のうち、必ずハズレのドアを開いて見せなければならない。司会者はCを開いた。つまり、司会者が開けなかったBが当たりの確率は100%になる。

司会者からニヤニヤしながら、「最初に選んだ扉のままにする?それとも別の扉にする?」と問いかけてきたとき、「別の扉に変えます」などと答えると、優柔不断なヤツと思われるかもしれないけれど、確率の高いほうに賭けるのは賢い選択となる。クイズショウとしても、司会者のゆさぶりに乗せられて、挑戦者が方針を変えるほうが、ドラマ性が高まっておもしろい。

数学は苦手だったが、確率クイズは面白いと思う。ちなみに、この問題はモンティ・ホール問題とよばれる有名なクイズらしい。この映画は実話をもとにしたストーリーだそうだが、町山さんによれば、主人公たちはアジアからの留学生たちで、映画の主人公のように白人でははないという。本当だとしたらひどい話。

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